FourierBaron Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
französischer Mathematiker und Physiker
-Entwicklung



Inhalt


1.  Einführung


2.  Orthogonalitätsrelationen


3.  Bestimmung der Koeffizienten


4.  Beispiele


5.  komplexe Schreibweise


6.  kontinuierliche Fouriertransformation


7.  Fourier und π


8.  Anwendungen in der Signalverarbeitung




1.  Einführung


Ähnlich der Taylor-Entwicklung einer Funktion f als Reihe von Potenzfunktionen ist aus mathematischer Sicht das Ziel einer Fourier-Reihenentwicklung, eine Funktion f als (unendliche) Reihe von trigonometrischen Funktionen darzustellen: $$f(t)~=~\sum_{n=0}^{\infty}d_n~cos(\omega_n t+\sigma_n)$$ Aus physikalischer Sicht geht es darum, ein zeitabhängiges Signal in ein frequenzartiges Signal umzuwandeln.
Das zeitabhängige Signal wird aus einer Grundschwingung und ihre Oberschwingungen (Vielfache der Grundschwingung) zusammengesetzt.

Es gilt nun, die Parameter dn, ωn und σn zu bestimmen!

Formal möchte man eine periodische Funktion f mit der Periode T als Reihe trigonometrischer Funktionen darstellen.
Es gilt demnach f(t) = f(t + T).
Der Zusammenhang zwischen der Periode T und der Winkelgeschwindigkeit ω ist aus der Physik bekannt:
ω = 2⋅π⋅f = \(\frac{2\pi}{T}\) sowie der Frequenz f = \(\frac{1}{T}\).

Mit Hilfe des Additionstheorems cos (α + β) = cos α ⋅ cos β - sin α ⋅ sin β wird das Argument der Summe umgeformt. Dann: $$f(t)~=~\sum_{n=0}^{\infty}d_n~cos(\omega_n t+\sigma_n)~=~\sum_{n=0}^{\infty}d_n~(cos~\omega_n t\cdot cos~\sigma_n-sin~\omega_n t \cdot sin ~\sigma_n)$$ Zeitunabhängige Faktoren zusammenfassen: $$f(t)~=~\sum_{n=0}^{\infty}(a_n~cos~\omega_n t~+~b_n~ sin~\omega_n t)~=~ \sum_{n=0}^{\infty}(a_n~cos~(2\pi n \frac{t}{T})~+~b_n ~sin~(2\pi n \frac{t}{T}))$$ mit den Koeffizienten der Grundschwingung (n = 0) und deren Oberschwingungen (n > 0):
an = dn⋅cos σn und bn = - dn⋅sin σn.

Um nun die Koeffizienten an und bn zu bestimmen, benötigt man die


2.  Orthogonalitätsrelationen



$$1.~~~\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} cos~\frac{2\pi k t}{T}~cos~\frac{2\pi k' t}{T}~dt~=~\begin{cases}0~falls ~k\neq k' \\ \frac{T}{2}~falls~k=k'>0 \\ T~falls~k=k'=0\end{cases}$$ $$2.~~~\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} sin~\frac{2\pi k t}{T}~sin~\frac{2\pi k' t}{T}~dt~=~\begin{cases} \frac{T}{2}~falls ~k= k'>0 \\ 0~sonst\end{cases}$$ $$3.~~~\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} cos~\frac{2\pi k t}{T}~sin~\frac{2\pi k' t}{T}~dt~=~0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$
zu 1.
Mit Additionstheorem des cos (s. oben) und cos -α = cos α sowie sin -α = - sin α:
Sei m = \(\frac{2\pi}{T}k\) sowie m' = \(\frac{2\pi}{T}k'\).
Für m ≠ m':
$$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} cos~(mt)~cos~(m't)~dt~=~\frac{1}{2}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} (cos~(m+m') t~+~cos~(m-m') t)~dt$$ $$=~\frac{1}{2}\left[ \frac{sin~((m+m') t)}{m+m'}~+~\frac{sin~((m-m') t)}{m-m'}\right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}$$ Für k ≠ k':
$$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} cos~(\frac{2\pi}{T}kt)~cos~(\frac{2\pi}{T}k't)~dt~=~\frac{1}{2}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} (cos~(\frac{2\pi}{T}(k+k') t)~+~cos~(\frac{2\pi}{T}(k-k') t))~dt$$ $$=~\frac{1}{2}\frac{T}{2\pi}\left[ \frac{sin~(\frac{2\pi}{T}(k+k') t)}{k+k'}~+~\frac{sin~(\frac{2\pi}{T}(k-k') t)}{k-k'}\right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}$$ $$=~\frac{1}{2}\frac{T}{2\pi}\left[ \frac{sin~(\frac{2\pi}{T}(k+k') \frac{T}{2})}{k+k'}~+~\frac{sin~(\frac{2\pi}{T}(k-k') -\frac{T}{2})}{k-k'}\right]$$ $$=~\frac{1}{2}\frac{T}{2\pi}\left[ \frac{sin~((k+k')\pi)}{k+k'}~+~\frac{sin~(-(k-k')\pi)}{k-k'}\right]~=~0$$ Denn es gilt: sin mπ = 0 für m ∈ N.

Für k = k' > 0: $$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} cos~(\frac{2\pi}{T}kt)~cos~(\frac{2\pi}{T}kt)~dt~=~\left[\frac{1}{2}t+\frac{T}{8\pi k}sin(\frac{4\pi k}{T}t)\right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}$$ $$=~\frac{1}{2}\frac{T}{2}+\frac{T}{8\pi k}sin(\frac{4\pi k}{T}\frac{T}{2})~-~\left[\frac{1}{2}(-\frac{T}{2})+\frac{T}{8\pi k}sin(\frac{4\pi k}{T}(-\frac{T}{2}))\right]$$ $$=~\frac{T}{2}+\frac{T}{4\pi k}sin(2k\pi)~=~\frac{T}{2}~+~0~=~\frac{T}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$
Für k = k' = 0: $$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} cos~(\frac{2\pi}{T}kt)~cos~(\frac{2\pi}{T}kt)~dt~=~\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} 1\cdot 1~dt~=~\left[t\right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}~=~T$$
Die anderen Orthogonalitätsrelationen erhält man auf ähnliche Weise.

Anmerkung:
Definiert man ein Skalarprodukt zweier Funktionen durch $$\langle f(x),g(x) \rangle ~=~\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)~g(t)~dt$$ besagen die Orthogonalitätsfunktionen, dass die Funktionen cos t und sin t bzgl. dieses Skalarprodukts orthogonal sind.




3.  Bestimmung der Koeffizienten



Nun können die Koeffizienten an und bn bzgl. $$f(t)~=~\sum_{n=0}^{\infty}(a_n~cos~(2\pi n \frac{t}{T})~+~b_n ~sin~(2\pi n \frac{t}{T}))$$ bestimmt werden.
Um die an zu ermitteln, wird die Gleichung mit cos (\(\frac{2\pi}{T}\)n't) multipliziert und anschließend über das Intervall [\(-\frac{T}{2}\),\(\frac{T}{2}\)] integriert:
$$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)~cos~(\frac{2\pi}{T}n't)~dt~=~\sum_{n=0}^{\infty}\left( a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} cos~(\frac{2\pi}{T}nt)~cos~(\frac{2\pi}{T} n't)~dt~+~b_n ~\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} sin~(\frac{2\pi}{T}nt)~cos~(\frac{2\pi}{T} n't)~dt\right)$$ Nun werden die Orthogonalitätsrelationen angewendet. Man erhält:
$$Für~n=n'>0:~~~~~~\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)~cos~(\frac{2\pi}{T}nt)~dt~=~a_n\cdot \frac{T}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$ $$~\rightarrow~\mathbf{a_n~=~\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)~cos~(\frac{2\pi}{T}nt)~dt}$$
$$Für~n=n'=0:~~~~~~\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)~cos~(\frac{2\pi}{T}\cdot 0\cdot t)~dt~=~a_0\cdot T~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$ $$~~~~~\rightarrow~\mathbf{a_0~=~\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\cdot 1~dt}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$
Um die bn zu ermitteln, wird die Gleichung mit sin (\(\frac{2\pi}{T}\)n't) multipliziert und anschließend über das Intervall [\(-\frac{T}{2}\),\(\frac{T}{2}\)] integriert.
Man erhält: $$Für~n=n'>0:~~~~~~\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)~sin~(\frac{2\pi}{T}nt)~dt~=~b_n\cdot \frac{T}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$ $$\rightarrow~\mathbf{b_n~=~\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)~sin~(\frac{2\pi}{T}nt)~dt}$$ $$Für~n=n'=0:~~~~~~\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)~sin~(\frac{2\pi}{T}\cdot 0\cdot t)~dt~=~\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\cdot 0~dt~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$ $$\rightarrow~\mathbf{b_0~=0}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$
Anmerkung:
Für achsensymmetrische (oder gerade) Funktionen - es gilt f(t) = f(-t) - sind die Koeffizienten bn = 0,
für punktsymmetrische (oder ungerade) Funktionen - es gilt f(t) = -f(-t) - sind die Koeffizienten an = 0.
Begründung:
sin t ist punktsymmetrisch, cos t ist achsensymmetrisch.
Das Produkt einer achsen- und einer punktsymmetrischen Funktion ist punktsymmetrisch. Die Fläche unter dem Graphen einer ungeraden Funktion ist über eine Periode Null. Deshalb:
Falls f(t) achsensymmetrisch, gilt: \(b_n~=~\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)~sin~(\frac{2\pi}{T}nt)~dt~=~0\).
Falls f(t) punktsymmetrisch, gilt: \(a_n~=~\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)~cos~(\frac{2\pi}{T}nt)~dt~=~0\).




4.  Beispiele

1. Es soll eine Fourier-Analyse der Kipp- oder Sägezahnschwingung erfolgen:
f(x) = \(\begin{cases} x,~falls~ -\pi < x < \pi \\0, ~falls~ x = \pm\pi \end{cases}\)

a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f.

b) Die Darstellung der Funktion f als trigonometrisches Polynom ist $$f(x)~ =~ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cdot cos(nx)+b_n \cdot sin(nx))$$ mit \(a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)~dx\) sowie \(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot cos(nx)~dx\) und \(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot sin(nx)~dx\).

Begründen Sie, dass nur die bn bestimmt werden müssen, denn an = 0.

c) Zeigen Sie, dass für bn mit n > 0 gilt: \(b_n~=~-\frac{2}{\pi}\frac{\pi \cdot cos(n \pi)}{n}~=~2\frac{(-1)^{n+1}}{n}\).

Hinweis: Es gilt \(\int x\cdot sin(ax)~dx~=~\frac{sin(a x)}{a}-\frac{x \cdot cos(a\cdot x)}{a}\).

d) Geben Sie die ersten fünf Summanden der Fourierdarstellung von f an.

zu a)
zu b)
Die Periode ist T = 2π.
f ist eine punktsymmetrische Funktion, cos eine achsensymmetrische Funktion, das Produkt beider Funktionen ist punktsymmetrisch. Die Fläche unter dem Graphen einer ungeraden Funktion ist über eine Periode Null.
Deshalb gilt: an = 0.

zu c)
\(b_n~=~\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x~sin~(\frac{2\pi}{2\pi}nx)~dx~=~\frac{1}{\pi}\left[\frac{sin(nx)}{n}-\frac{x\cdot cos(n\cdot x)}{n}\right]_{-\pi}^{\pi}\)
\(~~~~=~\frac{1}{\pi}\left[(0-\frac{\pi\cdot(-1)^n}{n})-(0-\frac{-\pi\cdot(-1)^n}{n})\right]~=~\frac{1}{\pi}(-2\frac{\pi\cdot(-1)^n}{n})~=~\frac{2}{n}(-1)^{n+1}\)

zu d)
Die Fourierdarstellung der Kippschwingung lautet dann:
$$f(x)~\approx~2sin ~x - sin(2x)+\frac{2}{3}sin(3x)-\frac{1}{2}sin(4x)+\frac{2}{5}sin(5x)-...$$

2. a) Führen Sie für eine Rechteck-Schwingung der Amplitude A sowie der Periode T eine Fourier-Analyse durch.

b) Führen Sie für eine Dreieck-Schwingung der Amplitude A sowie der Periode T eine Fourier-Analyse durch.

c) Führen Sie für die Funktion f(x) = x2 mit der Periode T = 2π eine Fourier-Analyse durch.

zu a)
Rechteckschwingung: f(x) = \(\begin{cases} -1,~falls~ -\frac{T}{2} < x < 0 \\0, ~falls~ -\frac{T}{2};0;\frac{T}{2} \\1, ~falls~0 < x < \frac{T}{2} \end{cases}\)

Die Funktion f ist punktsymmetrisch, deshalb werden nur die bn berechnet.
\(b_n~=~\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)~sin~(\frac{2\pi}{T}nx)~dx~=~\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}f(x)~sin~(\frac{2\pi}{T}nx)~dx\) , da f(x)⋅sin x achsensymmetrisch

f(x) einsetzen (und n > 0):
\(b_n~=~\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}1\cdot~sin~(\frac{2\pi}{T}nx)~dx~=~\frac{4}{T}\left[-\frac{T}{2\pi n} cos (\frac{2\pi}{T}nx)\right]_{0}^{\frac{T}{2}}\)

\(~~~~=~-\frac{4}{2\pi n} (cos~(\pi n)~-~1)~=~\begin{cases} 0~,~falls~n~gerade \\ \frac{4}{\pi n}~,~falls~n~ungerade \end{cases}\)

Die Fourierreihe für die Rechteckschwingung lautet: $$f(x)~ =~ \frac{4}{(2n-1)\pi}\sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac{2\pi}{T}(2n-1)x)$$

Falls T = 2π, dann $$f(x)~ =~ \frac{4}{\pi} ~(sin~x~+~\frac{1}{3}sin(3x)~+~\frac{1}{5}sin{5x}~+~\frac{1}{7}sin(7x)~ + ~...)$$
Um die Amplitude A abzubilden, wird der Funktionsterm mit A multipliziert.

Im Bild: Näherung für n = 4.

Anmerkung:
Gibbsches Phänomen: Wenn die Koeffizienten nicht schnell genug gegen Null gehen, lässt häufig das Konvergenzverhalten an den Unstetigkeitsstellen nach.


zu b)
Dreieckschwingung: f(x) = |x| im Intervall [\(-\frac{T}{2},\frac{T}{2}\)].
Die Funktion f ist achsensymmetrisch, deshalb werden nur die an berechnet.
Es gilt: \(\int x~cos(ax)~dx~=~\frac{1}{a}x~sin(ax)~+~\frac{1}{a^2}cos(ax)~+~c\)

$$a_0~=~\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\cdot 1~dx~=~\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}} x~dx~=~\frac{2}{T}\left[\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{\frac{T}{2}}~=~\frac{T}{4}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$
$$a_n~=~\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)~cos~(\frac{2\pi}{T}nx)~dx~=~\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}} x~cos~(\frac{2\pi}{T}nx)~dx~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$ $$=~\frac{4}{T}\left[\frac{T}{2\pi n}x~sin(\frac{2\pi}{T}nx)+\frac{T^2}{4\pi^2n^2}cos(\frac{2\pi}{T}nx)\right]_{0}^{\frac{T}{2}}~=~\frac{4}{T}\left[(0+\frac{T^2}{4\pi^2n^2}cos(\pi n))-(0+\frac{T^2}{4\pi^2n^2}) \right]$$ daraus folgt: $$a_n~ =~ \begin{cases}0~,~falls~n~gerade\\-\frac{2T}{\pi^2n^2}~,~falls~n~ungerade \end{cases}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$
Falls T = 2π, dann $$f(x)~=~\frac{\pi}{2} ~-~\frac{4}{\pi}(cos~x~+~\frac{1}{9}cos(3x)~+~\frac{1}{25}cos(5x)~+~\frac{1}{49}cos(7x)~ + ~...)$$
Um die Amplitude A abzubilden, wird der Funktionsterm mit A multipliziert.

zu c)
Die Funktion ist achsensymmetrisch. Deshalb müssen nur die an berechnet werden. Mit T = 2π:
$$a_0~=~\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2~dx~=~\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-\pi}^{\pi}~=~\frac{1}{3}\pi^{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$ $$a_n~=~\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2~cos~(nx)~dx~=~\frac{2}{\pi}\left[\frac{2x}{n^2}cos(nx)+\left(\frac{x^2}{n}-\frac{2}{n^3}\right)sin(nx)\right]_{0}^{\pi}$$ $$\rightarrow~~a_n~=~\frac{2}{\pi}\left[\frac{2\pi}{n^2}(-1)^n \right]~=~\frac{4}{n^2}(-1)^n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$ Insgesamt für T = 2π: $$f(x)~=~x^2~=~\frac{\pi^2}{3}~+~4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}cos(nx)~=~\frac{\pi^2}{3}~+~4\left(-cos(x)~+\frac{1}{4}cos(2x)~-~\frac{1}{9}cos(3x)~+~...\right)$$





5.  komplexe Schreibweise



Die Fourier-Reihe lässt sich auch in komplexer Form darstellen: $$f(t)~=~\sum_{n=-\infty}^{\infty}(D_n~e^{i\omega_n t})$$ Die Koeffizienten Dn sind im Allgemeinen komplex. Es gilt D-n = Dn*.

Anmerkung: Die sich für negative n ergebenden 'negativen' Frequenzen haben keinerlei physikalische Bedeutung. Man kann sich aber mit Hilfe des Zeigermodells die Winkelgeschwindigkeiten veranschaulichen als rechts- bzw. linksdrehende Zeiger.

Die Koeffizienten werden berechnet mit $$(*)~~~~~~~~~~D_n~=~\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-i\omega_n t}~dt~~~~~~mit~~~~\omega_n~=~\frac{2\pi}{T}n~~~~~für~~~-\infty \leq n \leq \infty$$
Es gilt bekanntlich: \(e^{i\alpha}~=~cos~\alpha~+i~sin~\alpha~~~~(s.~unter~Mathematik->Verschiedenes->Taylor-Reihe)\)

Dann: $$f(t)~=~\sum_{n=-\infty}^{\infty}D_n e^{i\omega_n t}~=~\sum_{n=-\infty}^{\infty}(D_n~(cos~(\omega_n t)~+~i ~sin~(\omega_n t))$$ Um die Dn zu ermitteln, wird die Gleichung mit \(e^{-i\omega_{n^{'}} t}\) multipliziert und anschließend über das Intervall [\(-\frac{T}{2}\),\(\frac{T}{2}\)] integriert:
$$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)~e^{-\omega_{n^{'}}t}~dt~=~\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left( D_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{i\omega_n t}~e^{-\omega_{n^{'}}t}~dt\right)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$ $$=~\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left( D_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} (cos~(\omega_n t)~+~i ~sin~(\omega_n t))~(cos~(\omega_{n^{'}} t)~-~i ~sin~(\omega_{n^{'}} t))~dt\right)$$ Multipliziert man die Klammern aus und wendet die Orthogonalitätsrelationen an, erhält man $$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)~e^{-i\omega_n t}~dt~=~D_n~T$$ und daraus die Gleichung (*) für die Koeffizienten.







6.  kontinuierliche Fouriertransformation



Bisher wurden periodische Signale mit der Periode T betrachtet.
Nun sollen nicht-perodische Signale in den Blick genommen werden. Gedanklich geht die Periode T gegen unendlich, die Grundfrequenz dann gegen Null.

Statt die Funktion f(t) durch diskrete Winkelgeschwindigkeiten ωn und den zugehörigen Amplituden an und bn auszudrücken, gibt F(ω) die Amplituden in Abhängigkeit beliebiger Winkelgeschwindigkeiten an.
$$Statt~~f(t)~=~\sum_{n=0}^{\infty}(a_n~cos~\omega_n t~+~b_n~ sin~\omega_n t)~=~\sum_{n=-\infty}^{\infty}(D_n~e^{i\omega_n t})~~~~~ nun ~~~~~F(ω)~ =~\int_{-\infty}^{\infty} f(t)~e^{-i\omega t}~dt.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

Vorab: Es gilt zwischen der Zeitfunktion f und der Frequenz f zu unterscheiden!

Die periodische Zeitfunktion mit diskreten Frequenzen wird nun mit fp bezeichnet:
$$f_p(t)~=~\sum_{n=-\infty}^{\infty}(D_n~e^{i\omega_n t})$$ Die zugehörige Spektralfunktion ist $$F_p(f)~=~\sum_{n=-\infty}^{\infty}(D_n~e^{i\omega_n t}~\delta(f~-~nf_0))$$δ ist die sogenannte Dirac-Funktion, deren Wert immer Null ist außer an der Stelle 0, dort ist ihr Wert 1.
δ(x) = \(\begin{cases} 1,~falls~ x=0 \\0~~~sonst \end{cases}\)
Dies ist ein Linienspektrum, weil nur bestimmte Frequenzen eine Amplitude ungleich Null besitzen.

Um den Übergang zu einem kontinuierlichen Spektrum zu erläutern, wird in einem ersten Schritt
die Periode verdoppelt: T = 2⋅T'.
Zeitfunktion fp' und Spektralfunktion Fp' lauten $$f_p^{'}(t)~=~\sum_{n=-\infty}^{\infty}(D_n^{'}~e^{i\omega_n^{'} t})~~sowie~~F_p^{'}(f)~=~\sum_{n=-\infty}^{\infty}(D_n^{'}~e^{i\omega_n^{'} t}~\delta(f~-~nf_0^{'}))~~mit~~D_n^{'}~=~\frac{1}{T^{'}} \int_{-\frac{T^{'}}{2}}^{\frac{T^{'}}{2}} f_p^{'}(t)e^{-i\omega_n^{'} t}~dt$$ In der Graphik erkennt man:

   -   im Bereich \(-\frac{T}{2}~<~t~<~\frac{T}{2}\) sind die Graphen identisch
   -   aufgrund der doppelten Periodendauer halbieren sich die Frequenzabstände bei der Spektralfunktion Fp'(t)
   -   Dn und D2n' gehören zur gleichen Frequenz f = n⋅f0 = 2n⋅f0'
   -   \(D_n~=~\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_p(t)e^{-i\omega_n t}~dt\)   sowie   \(D_{2n}^{'}~=~\frac{1}{T^{'}} \int_{-\frac{T^{'}}{2}}^{\frac{T^{'}}{2}} f_p^{'}(t)e^{-i\omega_{2n} t}~dt\)

Da zwischen \(\frac{T}{2}\) und \(\frac{T^{'}}{2}\) die Funktion fp'(t) = 0 gilt (natürlich auch im negativen Bereich), können die Integrationsgrenzen auf \(\pm \frac{T}{2}\) begrenzt werden und deshalb innerhalb dieser Grenzen die Funktion fp'(t) durch fp(t) ersetzt werden.
Mit T ' = 2 T (und deshalb f0' = \(\frac{f_0}{2}\)) gilt:
$$(**)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~D_{2n}^{'}~=~\frac{1}{2T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_p(t)e^{-i\omega_{n} t}~dt~=~\frac{D_n}{2}$$
Das Ergebnis kann verallgemeinert werden. Sei T ' = k⋅n⋅T mit k ∈N.

Der Abstand benachbarter Frequenzen verringert sich um den Faktor k. Es gilt: f0' = \(\frac{1}{k}\)f0 sowie \(D_{k\cdot n}^{'}~=~\frac{1}{k}D_n\).

Geht nun k → ∞, dann liegen benachbarte Frequenzen unendlich nah beieinander ( f0' → 0).
Dann wird aus der diskreten Funktion fp(t) die kontinuierliche Funktion f(t) und aus der diskreten Spektralfunktion Fp(f) die kontinuierliche Spektralfunktion F(f).
Aus dem Linienspektrum wird ein kontinuierliches Spektrum.

Die Fourierkoeffizienten Dk⋅n' gehen wegen Gleichung (**) gegen Null, denn Dk⋅n' = \(\frac{D_n}{k}\) und k →∞.
Gleichzeitig geht aber auch die Anzahl der Frequenzen gegen unendlich.
Deshalb werden nicht mehr die einzelnen Fourierkoeffizienten Dk⋅n' berechnet, sondern eine spektrale Dichte F(f).

An die Stelle der Frequenz f = k⋅n⋅f0' tritt nun:
$$F(f = k\cdot n \cdot f_{0}^{'})~ =~ \lim_{f_{0}^{'}\rightarrow 0} \frac{D_{k \cdot n}^{'}}{f_{0}{'}}~=~\lim_{T^{'}\rightarrow \infty} (D_{k \cdot n}^{'}\cdot T^{'})~~~~~~~~~~~~~~$$ (s. Graphik: roter Flächeninhalt im Frequenzintervall um k⋅n⋅f0 mit der Breite f0)

Die kontinuierliche Spektralfunktion F(f) ist als Einhüllende der diskreten Spektralfunktion Fp(t) in der Graphik zu erahnen.
Daraus folgt (s. Term für Dn) $$F(f)~ =~\int_{-\infty}^{\infty} f(t)~e^{-i\cdot 2\pi f t}~dt$$





Anmerkung:
Betrachtet man ein zeitabhängiges Signal f(t), dann entspricht t der Zeit in s bzw ω in der Einheit Hz und f(t) etwa der Spannung in V.
Während die Koeffizienten an und bn bzw. Dn die Einheit V besitzen, hat F(ω) dann die Einheit Vs bzw. \(\frac{V}{Hz}\).

Aus F(ω) kann durch eine Rücktransformation f(t) ermittelt werden (vom Frequenz- in den Zeitbereich):

$$f(t)~=~\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)~e^{i\omega t}~d\omega~=~\int_{-\infty}^{\infty} F(f)~e^{i\cdot 2\pi f t}~df$$
Verwendet werden die Bezeichnungen aus der vorherigen Begründung.
Beim Übergang vom periodischen zum kontinuierlichen Signal wurde ein Grenzwert eingeführt. Deshalb: $$f(t)~=~\lim_{f_{0}^{'}\to \infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(D_n^{'}~e^{i~ 2\pi n f_{0}^{'} t})$$ Nun erweitert man den Ausdruck um f0':
$$f(t)~=~\lim_{f_{0}^{'} \to \infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\frac{D_n^{'}}{f_{0}^{'}}\cdot e^{i~ 2\pi n f_{0}^{'} t}\cdot f_{0}^{'})$$ Durch den Grenzübergang f0' → 0 wird
  -    f0' zu df
  -    n⋅f0' zur Frequenz f
  -    \(\frac{D_n^{'}}{f_{0}^{'}}\) zu F(f)
Daraus folgt $$f(t)~=~\int_{-\infty}^{\infty} F(f)~e^{i\cdot 2\pi f t}~df$$ und wegen dω = 2 π df $$f(t)~=~\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)~e^{i\cdot \omega t}~d\omega$$




Aus \(e^{-i\omega t}~=~cos~\omega t ~-~i~sin~\omega t\) folgt $$F(ω)~ =~\int_{-\infty}^{\infty} f(t)~e^{-i\omega t}~dt~=~\int_{-\infty}^{\infty} f(t)~cos(\omega t)~dt~-~i~\int_{-\infty}^{\infty} f(t)~sin(\omega t)~dt$$ Die Spektralfunktion lässt folglich sich in einen Realteil R(ω) und einen Imaginärteil I(ω) zerlegen. $$F(ω)~ =~Re(\omega)~+~I(\omega)~=~\int_{-\infty}^{\infty} f(t)~e^{-i\omega t}~dt~=~\int_{-\infty}^{\infty} f(t)~cos(\omega t)~dt~-~i~\int_{-\infty}^{\infty} f(t)~sin(\omega t)~dt$$
Exponentieller Zerfall als Beispiel eines nicht-periodischen Signals

Sei der exponentielle Zerfall gegeben durch f(t) = \(\begin{cases} e^{-\lambda t},~falls~ t\ge 0 \\0 ~~~sonst \end{cases}\)
Dann $$F(ω)~ =~\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}~e^{-i\omega t}~dt~=~\int_{0}^{\infty} e^{-(\lambda+i\omega)t}~dt~=~\left[-\frac{1}{\lambda+i\omega} e^{-(\lambda+i\omega)t}\right]_{0}^{\infty}~=~\frac{1}{\lambda+i\omega}$$ Mit dem konjugiert Komplexen des Nenners erweitern führt auf $$F(ω)~=~\frac{\lambda}{\lambda^2+\omega^2}~-~i\frac{\omega}{\lambda^2+\omega^2}~~~mit~~~|F(\omega)|^2~=~\frac{1}{\lambda^2+\omega^2}$$



7.  Fourier und π



i.
Die Sägezahnschwingung (s. Aufgabe 1 in Beispiele) lässt sich darstellen durch f(x) = x im Intervall -π < x < π.
Als Fourierreihe: $$f(x) ~= ~\sum_{n=0}^{\infty} 2\frac{(-1)^{n+1}}{n}sin(nx)$$ Setzt man x = \(\frac{\pi}{2}\),erhält man: $$\frac{\pi}{2}~ =~ \sum_{n=1}^{\infty} 2\frac{(-1)^{n+1}}{n}sin(n\frac{\pi}{2})$$ und durch Division von 2: $$\frac{\pi}{4}~=~1~-~\frac{1}{3}~+~\frac{1}{5}~-~\frac{1}{7}~+~...$$ Das ist die berühmte Reihe von Leibniz.

ii.
Die Dreieckschwingung (s. Aufgabe 2b in Beispiele wird dargestellt für T = 2π durch:
f(x) = |x| = \(\frac{\pi}{2} ~-~\frac{4}{\pi}(cos~x~-~\frac{1}{3^2}cos(3x)~-~\frac{1}{5^2}cos(5x)~-~\frac{1}{7^2}cos(7x)~ - ~...)\)

Setzt man nun x = 0, erhält man $$f(0)~ = 0 ~= ~\frac{\pi}{2} ~-~\frac{4}{\pi}(1~+~\frac{1}{3^2}~+~\frac{1}{5^2}~+~\frac{1}{7^2}~ + ~...)~~$$ $$\rightarrow~~~\frac{\pi^2}{8}~=~\frac{1}{1^2}~+~\frac{1}{3^2}~+~\frac{1}{5^2}~+~\frac{1}{7^2}~ + ~...~~~~~~~~~~~~$$
iii.
Eine weitere Formel für π erhält man aus der Fourier-Reihe von f(x) = x2 (s. Aufgabe 2c in Beispiele.
$$f(x)~=~x^2~=~\frac{\pi^2}{3}~+~4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}cos(nx)$$ Mit x = 0 erhält man
$$f(0)~=~0~=~\frac{\pi^2}{3}~+~4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$$ $$\rightarrow~~~~\frac{\pi^2}{12}~=~\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}~=~\frac{1}{1^2}~-~\frac{1}{2^2}~+~\frac{1}{3^2}~-~...$$ Subtrahiert man dies von der Gleichung aus ii., erhält man $$\frac{\pi^2}{8}~-~\frac{\pi^2}{12} ~=~ \frac{\pi^2}{24}~=~ (\frac{1}{1^2}~+~\frac{1}{3^2}~+~\frac{1}{5^2}~+~\frac{1}{7^2}~ + ~... )~-~(\frac{1}{1^2}~-~\frac{1}{2^2}~+~\frac{1}{3^2}~-~...)$$ $$\rightarrow~~~\frac{\pi^2}{24}~=~\frac{1}{2^2}~+~\frac{1}{4^2}~+~\frac{1}{6^2}~+~...~=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}~~~~~~~~~~~~~$$ Aus einer Multiplikation mit 4 folgt
$$\frac{\pi^2}{6}~=~\frac{1}{1^2}~+~\frac{1}{2^2}~+~\frac{1}{3^2}~+~...~=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}~~~~~~~~~~~~~$$ Fazit:
$$~~~~~~~~~~~~~Summe~der~Kehrwerte~der~Quadratzahlen:~\frac{\pi^2}{6}~=~\frac{1}{1^2}~+~\frac{1}{2^2}~+~\frac{1}{3^2}~+~...~=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$ $$Summe~der~Kehrwerte~der~Quadrate~ungerader~Zahlen:~\frac{\pi^2}{8}~=~\frac{1}{1^2}~+~\frac{1}{2^2}~+~\frac{1}{3^2}~+~...~=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}$$ $$~~Summe~der~Kehrwerte~der~Quadrate~gerader~Zahlen:~\frac{\pi^2}{24}~=~\frac{1}{1^2}~+~\frac{1}{2^2}~+~\frac{1}{3^2}~+~...~=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}$$


8.  Anwendungen in der Signalverarbeitung



Mögliche Anwendungen sind in der Signalverarbeitung:


Ein Signal wird abgetastet (sampling). Die Signalfunktion besteht somit aus mehreren diskreten Werten. Die Fensterlänge N gibt die Anzahl der Werte an, die jeweils für eine Analyse oder Bearbeitung verwendet wird. Mittels einer sogenannten Fensterfunktion (das kann auch eine einfache Rechteckfunktion sein) werden die Werte des Signals ausgewählt - wie bei der Rechteckfunktion - oder je nach Fensterfunktion verändert. Diese Werte können durch eine diskrete Fouriertransformation in ihre spektralen Anteile zerlegt werden.
Die Frequenzauflösung Δf ist der Quotient aus der Abtastfrequenz fs und der Fensterlänge N: \(\Delta f~=~\frac{f_s}{N}\).
Eine längere Fensterlänge verbessert somit die Frequenzauflösung, verschlechtert hingegen die zeitliche Auflösung. Letzteres könnte zeitlich begrenzte, schnell veränderliche Merkmale verzerren.
(Beachte: akustische Unschärfe \(\Delta f\cdot\Delta t~=~\frac{1}{2}\)).
Ggfs kann eine Filterung (z.B. mittels einer Faltung - das Signal wird durch eine eine Faltungsfunktion verändert) oder Kompression erfolgen, die Daten demnach manipuliert werden. Durch eine Rücktransformation können die bearbeiteten Daten in ein analoges Signal umgewandelt werden.
Hinweis: Um ein Signal vollständig ohne Informationsverlust zu erfassen, darf die höchste aufzulösende Frequenzkomponente höchstens der halben Abtastfrequenz (Nyquist-Theorem) entsprechen.
Beispiel CD: Die Abtastrate beträgt 44 kHz. Die höchste aufzulösende Frequenz beträgt somit 22 kHz. Das reicht, denn der menschliche Hörbereich liegt bei 20 - 20000 Hz.