Modulation

Um Informationen (also Daten) möglichst schnell und verlustfrei über große Entfernungen übertragen zu können, wurden im Lauf der Zeit immer bessere Verfahren entwickelt. Lange Zeit wurden die Datenträger Bücher, Briefe) physisch mit Hilfe der Post mit dem Schiff, zu Pferd oder zu Fuß transportiert. Im Laufe des 19. Jahrhunderts lernte man, die Elektrizität zu nutzen. Über Gleichstromleitungen konnten Informationen mit Hilfe einer geeigneten Codierung (z.B. Morsealphabet) quasi mit Lichtgeschwindigkeit übertragen werden (Morsen, Telephon). Im einfachsten Fall kann die Informationsübertragung über das Ein- und Ausschalten des Stroms erfolgen.

Um Daten mit Lichtgeschwindigkeit und nicht leitungsgebunden zu übertragen, nutzt man elektromagnetische Wellen. Das sind Schwingungen, die sich im Raum ausbreiten. In einer Antenne (Dipol) bewegen sich im Takt einer Schwingung Ladungen von einem zum anderen Ende. Die sich bewegenden Ladungen erzeugen sowohl ein elektrisches Feld als auch ein dazu orthogonales magnetisches Feld (bewegte Ladungen bedeuten bekanntlich ein Strom), die sich im Raum ausbreiten.
Eine hochfrequente Trägerschwingung mit der Frequenz fT wird durch das niederfrequente Nutzsignal mit der Frequenz fN verändert.
Es gilt fN << fT.
Die Frequenz des modulierten Trägers - also das ausgesendete Signal - wird mit fS bezeichnet.
Anmerkung: Die Kreisfrequenz ω hängt mit der Frequenz f über ω = 2 π f zusammen.

Für diese Modulation gibt es mehrere Verfahren:


Amplitudenmodulation AM

Bei diesem Verfahren wird die Amplitude eines hochfrequenten Trägersignals durch ein niederfrequentes Nutzsignal verändert.
Die hochfrequente Trägerschwingung sei durch die zeitlich sich ändernde Spannung
    UT(t) = ÛT cos 2πfTt = ÛT cos ωTt   
gegeben. Zu ihrer Amplitude ÛT wird nun das zeitlich sich ändernde Nutzsignal ÛN cos ωNt hinzugefügt.

Gesendet wird folglich US(t) = (ÛT + ÛN cos ωNt) cos ωTt = ÛT cos ωTt + ÛN cos ωNt cos ωTt.

Mit Hilfe der Umrechnung cos α cos β = 12 cos (α - β) cos (α + β) folgt

das Sendesignal US(t) = ÛT cos ωTt   +   ÛN2 cos (ωT - ωN)t   cos (ωT + ωN)t .

Das Sendesignal setzt sich demzufolge zusammen aus dem Trägersignal, in dem keine Informationen stecken und den sogenannten Seitenbändern - deutsch: USB (OSB) unteres (oberes) Seitenband, englisch: LSB (USB) Lower (Upper) Side Band. Nur die Seitenbänder sind Träger der Information.
In der nachfolgenden Simulation besteht das Nutzsignal aus einer Sinusschwingung. Da das Nutzsignal in der Regel aus Musik oder Sprache mit vielen unterschiedlichen Frequenzen besteht, variiert die Frequenz des ausgestrahlten Signals innerhalb eines Intervalls 2 ⋅ fN,max. Dieses Intervall bezeichnet man als Bandbreite B. Es gilt: B = 2 ⋅ fN,max.
Die Bandbreite wurde für AM-Rundfunk auf 9 kHz festgesetzt. Deshalb können maximal Frequenzen von 4,5 kHz übertragen werden (in der Praxis eher bis 3 kHz). Die Trägerfrequenzen unterschiedlicher Sender müssen demnach mindestens 9 kHz auseinanderliegen, um sich nicht gegenseitig zu stören.

Aus der mathematischen Betrachtung folgt:
Eine Änderung der Lautstärke des Nutzsignals bewirkt eine Änderung der Amplitude der Seitenbänder (nicht des Trägersignals).
Eine Änderung der Frequenz des Nutzsignals bewirkt eine Änderung des Abstands der Seitenbänder.

Simulation: großes Bild - zeitliche Auflösung des Sendesignals  ,  kleines Bild - spektrale Auflösung des Signals
Anmerkung: Ein zeitlich aufgelöstes Signal lässt sich mittels Fourier-Transformation in ein frequenzartig aufgelöstes Signal (Grundschwingung sowie Oberschwingungen) auflösen.
Trägerfrequenz: fT = 1500 Hz    Nutzfrequenz fN = 60 - 180 Hz    Modulationsgrad m = 0.2 - 0.9

In der Praxis ist das Verhältnis der Sende- zu Nutzfrequenz bedeutend höher als in der Simulation.
Der Modulationsgrad m gibt das Verhältnis von Nutzsignalamplitude zur Trägeramplitude an: m = ÛNÛT.
Es sollte 0 < m < 1 gelten.

  

Die Amplitude (Höhe) der Seitenbänder entspricht
ÛN2 = m⋅ÛT2.

Der Abstand Trägerfrequenz zu einem Band entspricht der Nutzfrequenz.

  Lautstärke:    m = 0.55      Frequenz:    f = 120 Hz

Es entstanden weltweit AM-Rundfunksender, deren Trägerfrequenzen in der Mittelwelle (MW: 525 - 1705 kHz) oder Kurzwelle (KW: 3 - 30 MHz) angesiedelt waren. Auf freien Kurzwellenintervallen senden auch Amateurfunkeroder Funkfernsteuerungen.
Sendefrequenzen werden staatlich reguliert. Einige Frequenzintervalle sind für alle frei zugänglich.

Vorteile:
- AM-modulierte Signale können sehr einfach empfangen und demoduliert werden. Dies war insbesondere zu Beginn des Rundfunks wichtig. (s. technische Realisierung)
- AM-Sender starker Sendeleistung erzielen eine hohe Reichweite über mehrere 1000 km, weil die (Raum)Wellen an der Ionosphäre (Höhe > 80 km) insbesondere des Nachts gut reflektiert werden.

Nachteile:
- Schlechter Wirkungsgrad: Das Senden des keine Information tragenden Trägersignals erfordert sehr viel Energie (kann durch Verfahren z.B. Filter) unterdrückt werden,).
- Störanfällig: Gewitter oder Störsender beeinflussen den AM-Empfang sehr stark.
Daraus und aus der geringen Bandbreite resultiert eine aus heutiger Sicht geringe Übetragungsqualität.



Der Sender ist als Meissner-Schaltung konzipiert,
Die Sendefrequenz wird durch die Eigenfrequenz des Schwingkreises bestehend aus der 600er Spule und dem 10nF Kondensator festgelegt. Über die Antenne können Wellen in den Raum abgestrahlt werden (bei passender Dimensionierung der Schwingkreisbauteile - hier nicht der Fall). Die Sendefrequenz fT erhält man mit der Thomson-Formel: f = 12 π1 L C .
(Induktivität L der Spule, Kapazität C des Kondensators)
Über die 300er Spule (induktive Kopplung mit dem Schwingkreis) wird das Gitter der Triode phasenrichtig angesteuert, um 'Verluste' des Schwingkreises zu kompensieren. Das Nutzsignal Usig moduliert ebenfalls den Strom der 300er Spule (und damit die Amplitude des Sendesignals).

Der Schwingkreis des Empfängers entspricht dem Schwingkreis des Senders - besitzt demnach die gleiche Eigenfrequenz. Die Diode filtert nur die oberen Halbwellen heraus. Die sich anschließende Widerstand - Kondensator - Schaltung wirkt als Tiefpassfilter. Dadurch wird der hochfrequente Trägersignalanteil herausgefiltert. An den Punkten D F kann das Nutzsignal abgegriffen werden.
Für optimalen Empfang sollte die Länge der Antenne ein Vielfaches der halben Wellenlänge λ des Trägersignals betragen.
Wellengleichung: Wellenlänge λ ⋅ Frequenz f = Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle c.




Frequenzmodulation FM

Bei diesem Verfahren wird die Frequenz bzw. Winkelgeschwindigkeit eines hochfrequenten Trägersignals durch ein niederfrequentes Nutzsignal verändert - die Amplitude des ausgestrahlten Signals verändert sich nicht.

Einige Kenngrößen:
Der Frequenzhub Δf entspricht der Hälfte der max. und min. auftretenden Signalfrequenz: Δf = 12 (fmax - fmin).
Das Intervall liegt symmetrisch zur Trägerfrequenz fT. Kurz: Der Frequenzhub entspricht der maximalen Abweichung von der Trägerfrequenz.
Das Verhältnis zwischen Frequenzhub und Nutzfrequenz wird als Modulationsindex η bezeichnet: η = ΔffN.

Für ein sinusförmiges Nutzsignal und ein cosinusförmiges Trägersignal lautet die Zeitfunktion des ausgesendeten Signals:
US(t) = ÛT cos (ωT⋅t + η⋅sin ωN⋅t).

Anmerkung:
Da sich sich die Nulldurchgänge der Trägerschwingung verändern, kann das auch als Phasenverschiebung oder Phasenwinkeländerung aufgefasst werden. Die Frequenzmodulation zählt deshalb (wie auch die ähnliche Phasenmodulation) zur Winkelmodulation.

Zerlegt man das ausgesendete Signal spektral, erhält man

US(t) = ÛT ( J0(η)⋅cos ωT⋅t - J1(η) ⋅ sin (ωT ± ωN)⋅t - J2(η) ⋅ cos (ωT ± 2⋅ωN)⋅t + J3(η) ⋅ sin (ωT ± 3⋅ωN)⋅t + ... ).

Die Koeffizienten Ji ergeben sich aus den  

Bessel-Funktionen Benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846). Bessel-Funktionen sind die Lösungen Besselscher Differentialgleichungen.
Jn(x)=\(\sum_{m=0}^{\infty}\)\( (-1)^m \cdot (\frac{x}{2})^{2m+n} \frac{1}{m!(m+n)!}\)
 hier in Abhängigkeit des Modulationsindex η.

Die Anteile Ji der (Ober)Schwingungen können je nach gewähltem Modulationsindex sehr unterschiedlich sein.
Man erkennt, dass die eigentlich erforderliche Bandbreite des ausgesendeten Signals wegen der prinzipiell unendlich vielen Oberschwingungen sehr hoch sein kann. In der Praxis kann man die Bandbreite B nach der Carson-Formel B = 2 ⋅ (Δf + fN) = 2 ⋅ fN ⋅ (η + 1) falls η>1   begrenzen.

Die Amplitude der Nutzspannung (Lautstärke) ist direkt proportional zum Frequenzhub des ausgesendeten Signals.
Die Nutzfrequenz (Tonhöhe) bestimmt die Häufigkeit der Wechsel zwischen maximaler und minimaler Momentanfrequenz des ausgesendeten Signals.

Simulation: großes Bild - zeitliche Auflösung des Sendesignals  ,  kleines Bild - spektrale Auflösung des Signals
Anmerkung: Ein zeitlich aufgelöstes Signal lässt sich mittels Fourier-Transformation in ein frequenzartig aufgelöstes Signal (Grundschwingung sowie Oberschwingungen) auflösen.
Trägerfrequenz: fT = 1,2 KHz    Nutzfrequenz fN = 80 - 160 Hz    Modulationsindex η ∈ {3 , 4 , 5}


  
Aus der max. Nutzfrequenz und einem Modulationsindex kann auf den max. Frequenzhub geschlossen werden:
Δf = η ⋅ fN.
Für η = 4 erhält man in der Simulation Δf = 4 ⋅ 160 = 640 Hz.
J0 entspricht der Trägerfrequenz.

  Lautstärke:    η = 4      Frequenz:    f = 120 Hz

Im UKW-Rundfunk kann die Bandbreite B mit der Formel B = 2⋅(Δf + fN) für Mono-Ausstrahlung bzw.
B = 2⋅(Δf + 2⋅fN) für Stereo-Sendungen berechnet werden.
Der Frequenzhub beträgt bei Mono 75 kHz und die maximal übertragene Nutzfrequenz fN = 15 kHz. Daraus resultiert ein Modulationsindex η von 5.
Die Bandbreite errechnet sich zu 2⋅(75 + 15) = 180 kHz (bei Stereo zu 210 kHz). Man erkennt eine deutlich höhere Bandbreite als bei AM-Modulation (s. oben für vergleichbare Übertragung 30 kHz).
Um eine vernünftige Anzahl an Sendern in einem UKW-Band unterzubringen, benötigt man demnach höhere Trägerfrequenzen. Das UKW-Band ist das Intervall von 87,6 MHz bis 108 MHz. Innerhalb dieses Bandes besteht ein festgeschriebenes Senderraster mit einem Senderkanalabstand von 300 kHz.

Vorteile:
- höhere Übertragungsqualität (auch Stereo möglich.)
- wenig störanfällig, weil die Amplitude des Signals nicht verändert wird.

Nachteile:
- Geringe Reichweite (max. 50 km), denn das Signal breitet sich nur über Bodenwellen aus.
- Die Modulation und Demodulation sind deutlich aufwändiger. Entsprechende Patente wurde in den 1930er Jahren erteilt. Die Einführung von UKW-Rundfunk in Deutschland erfolgte 1949.