Geometrie11

Übungsaufgaben

Inhalt: Vektoren, lineare Unabhängigkeit, Basis, Linearkombinationen, affine KO-Systeme, Geraden, Ebenen (Punkt-Richtung-Darstellung)

a) Geben Sie eine Definition eines Vektors an, und erläutern Sie den Begriff 'lineare Unabhängigkeit von Vektoren'.
b) Berechnen Sie die folgenden Determinanten:

| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & -2 \end{matrix} |

| \begin{matrix} 9 & -2 & 4 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 7 \end{matrix} |

zu a)
Definition 'Vektor': Ein Vektor ist die Menge aller gleich langen, gleich gerichteten und gleich orientierten Pfeile.
Anmerkung 1: Zeichnet man konkret einen Pfeil, bezeichnet man ihn üblicherweise als Vektor, obwohl er nur ein Repräsentant eines Vektors ist (denn ein Vektor ist eine Menge von Pfeilen).
Anmerkung 2: Etwas abstraktere Definition: Als Vektor bezeichnet man ein Element eines Vektorraums.

Definition 'lineare Unabhängigkeit von Vektoren': (mit a_i ∈ R)
$$\vec{x_0},~ \vec{x_1},~...,~\vec{x_n}~ lin~ unabhängig~~\leftrightarrow~~(a_0\cdot\vec{x_0}+a_1\cdot\vec{x_1}+...+a_n\cdot\vec{x_n}=\vec{0}~\rightarrow~\forall i~a_i=0 ~einzige~ Lösung)$$ zu b)

| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & -2 \end{matrix} |

= 2 ⋅ (-2) - 3 ⋅ 3 = -13

| \begin{matrix} 9 & -2 & 4 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 7 \end{matrix} |

= -37

Gegeben sind die Vektoren:

\vec{a} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

\vec{b} = (\begin{matrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{matrix})

\vec{c} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

\vec{d} = (\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 4 \end{matrix})

.
a) Überprüfen Sie, ob einer der Vektoren

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

kollinear zum Vektor

\vec{d}

ist.
b) Zeigen Sie, dass die Vektoren

\vec{a}, \vec{b} und \vec{c}

eine Basis des R³ bilden und berechnen Sie für

\vec{e} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})

die Koordinaten bzgl dieser Basis.

zu a)
Zwei Vektoren sind kollinear (also linear abhängig), wenn ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist.
Es muss demnach eine reelle Zahl k geben mit

\vec{a} = k⋅ \vec{d}

.

Aus

\vec{a} = k⋅ \vec{d}

folgt:

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = k⋅ (\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 4 \end{matrix})

→

\begin{matrix} 3 = 6⋅k \\ 1 = 2⋅k \\ 2 = 4⋅k \end{matrix}

→

\begin{array}{l} k = 1/2 \\ k = 1/2 \\ k = 1/2 \end{array}

→ es existiert ein k.
Folgerung:

\vec{a} und \vec{d}

sind kollinear.

Aus

\vec{b} = k⋅ \vec{d}

folgt:

(\begin{matrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}) = k⋅ (\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 4 \end{matrix})

→

\begin{matrix} 4 = 6⋅k \\ -1 = 2⋅k \\ 0 = 4⋅k \end{matrix}

→

\begin{array}{l} k = 2/3 \\ k = -1/2 \\ k = 0 \end{array}

→ es existiert kein k.
Folgerung:

\vec{b} und \vec{d}

sind nicht kollinear.

Aus

\vec{c} = k⋅ \vec{d}

folgt:

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = k⋅ (\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 4 \end{matrix})

→

\begin{matrix} 1 = 6⋅k \\ 1 = 2⋅k \\ 1 = 4⋅k \end{matrix}

→

\begin{array}{l} k = 1/6 \\ k = 1/2 \\ k = 1/4 \end{array}

→ es existiert kein k.
Folgerung:

\vec{c} und \vec{d}

sind nicht kollinear.

zu b)
Am einfachsten ist es, die Determinante, die durch die Vektoren gegeben ist, zu überprüfen:
det (

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

) ≠ 0 ↔

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

linear unabhängig

det (

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

) =

| \begin{matrix} 3 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} |

= 3 →

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

linear unabhängig

→ Die Vektoren

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

bilden eine Basis des R³.

Dann kann der Vektor

\vec{e}

als Linearkombination der Vektoren

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

dargestellt werden:

\vec{e} = x⋅\vec{a}+ y⋅\vec{b}+ z⋅\vec{c}

→

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) = x⋅ (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + y⋅ (\begin{matrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}) + z⋅ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

(lin. Gleichungssystem)

→

\vec{e} = 2⋅\vec{a}- 1⋅\vec{b}+ 0⋅\vec{c}

Gegeben sind die Punkte A(2/1/3) , B(3/1/0) sowie C(1/-1/3).
a) Geben Sie die Gerade g durch die Punkte A und B an.
b) Bestimmen Sie einen weiteren Punkt auf der Geraden g und zeigen Sie, dass C nicht auf der Geraden liegt.
c) Wie lautet die Gerade g’, die parallel zu g ist und durch C verläuft?
d) Ermitteln Sie den Punkt D (4/y/z), der auf der Geraden g liegt.

zu a)
Mit der 2-Punkte -Form folgt: g: $ \vec{r}~=~ \vec{a}~+~\lambda\cdot(\vec{b}-\vec{a})~~\rightarrow~~\vec{r}~=~\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} ~+~\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} $

zu b)
weiterer Punkt E: z.B. λ = -1 setzen.
Dann: $ \vec{e}~=~ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} ~+~(-1) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}~~\rightarrow~~E(1/1/6) $

zu c)
Parallele Geraden besitzen kollineare Richtungsvektoren.
g': $ \vec{r}~=~ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} ~+~\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} $

zu d)
Ortsvektor $ \vec{d}$ in g einsetzen und λ bestimmen. Daraus die fehlenden Koordinaten berechnen.
Also: $ \begin{pmatrix} 4 \\ y \\ z \end{pmatrix}~=~ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} ~+~\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}~~\rightarrow~~\lambda~=~2~(wegen~4=2+\lambda\cdot1)~~\rightarrow~~D(4/1/-3) $

Gegeben sei ein Vierflach durch die Grundfläche A(3/1/3) , B(6/4/5) , C(7/1/6) und die Spitze S(4/1/8). Weiterhin ist der Mittelpunkt M der Strecke CS und der Mittelpunkt N der Strecke BC gegeben.
a) Zeichnen Sie das Vierflach.
b) Drücken Sie die Vektoren

\vec{BS}, \vec{AM} und \vec{NM}

als Linarkombination der Vektoren

\vec{a} = \vec{AB}, \vec{b} = \vec{AC} und \vec{c} = \vec{AS}

aus.
c) Geben Sie die Koordinaten von N und M an.
d) Untersuchen Sie, ob sich die Gerade g durch N und M sowie die Gerade h durch S und B schneiden.

zu a)
s.Bild

zu b)
Vektorzüge durchführen:
$ \vec{BS}~=~\vec{BA}~+~\vec{AS}~=~-\vec{a}~+~\vec{c}$
$ \vec{AM}=\vec{AC}+\vec{CM}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{CS}=\vec{b}+\frac{1}{2}(\vec{CA}+\vec{AS})=\vec{b}+\frac{1}{2}(-\vec{b}+\vec{c})=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$
$ \vec{NM}=\vec{NC}+\vec{CM}=\frac{1}{2}\vec{BC}+\vec{CM}=\frac{1}{2}(\vec{BA}+\vec{AC})+\frac{1}{2}(\vec{CA}+\vec{AS})=\frac{1}{2}(-\vec{a}+\vec{b})+\frac{1}{2}(-\vec{b}+\vec{c})=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$

zu c)
M ist der Mittelpunkt der Strecke CS: $ \vec{m}=\frac{1}{2} (\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} 5,5 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} ~~\rightarrow~~M(5,5/1/7) $
N ist der Mittelpunkt der Strecke BC: $ \vec{n}=\frac{1}{2} (\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} 6,5 \\ 2,5 \\ 5,5 \end{pmatrix} ~~\rightarrow~~N(6,5/2,5/5,5) $
zu d)
Gerade g: $ \vec{r}~=~\begin{pmatrix} 6,5 \\ 2,5 \\ 5,5 \end{pmatrix} ~+~\lambda^{'}~\begin{pmatrix} -1 \\ -1,5 \\ 1,5 \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} 6,5 \\ 2,5 \\ 5,5 \end{pmatrix} ~+~\lambda~\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} $

Gerade h: $ \vec{r}~=~\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} ~+~\mu~\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} $

Da die Richtungsvektoren der Geraden g und h identisch (und damit kollinear) sind, sind beide Geraden parallel zueinander.
Nun muss man noch prüfen, ob beide Geraden identisch sind. Dazu genügt es, einen Ortsvektor in die andere Geradengleichung einzusetzen:
$ \begin{pmatrix} 6,5 \\ 2,5 \\ 5,5 \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} ~+~\mu~\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} ~\rightarrow~ \begin{array}{c} 6,5=4+2\mu \\ 2,5=1+2\mu \\ 5,5=8-3\mu \end{array}~\rightarrow~ \begin{array}{c} \mu=1,25 \\ \mu=0,75 \\ \mu=5/6 \end{array}$

Da es kein gemeinsames μ gibt, sind die Geraden echt parallel.

Natürlich kann man auch einfacher argumentieren:
Die Geraden durch CS und CB als Strahlen bilden zusammen mit den Geraden g und h eine Strahlensatzfigur mit dem Zentrum C. Da M und N jeweils die Mittelpunkte der Strecken CS und CB darstellen, sind die Geraden g und h parallel. Die Strecke NM ist deshalb halb so lang wie die Strecke BS. Die Geraden g und h schneiden sich deshalb nicht.

Gegeben ist die Basis B des R² durch die Vektoren

{\vec{b}}_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

und

{\vec{b}}_{2} = (\begin{matrix} -3 \\ 2 \end{matrix})

.
a) Geben Sie die Transformationsmatrix an, die kartesische Koordinaten in die Koordinaten der Basis B umrechnet.
b) Geben Sie die kartesischen Koordinaten der Punkte P(3/4) sowie Q(2/-1) in Koordinaten der Basis B an.

zu a)
Um die Transformationsmatrix M_K->B zu erhalten, müssen die Basisvektoren der kartesischen Basis durch die Basisvektoren der Basis B ausgedrückt werden.
$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}~=~\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ~+~\mu~\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} ~\rightarrow~ \begin{array}{c} 1=\lambda-3\mu \\ 0=\lambda+2\mu \end{array}~\rightarrow~ \lambda=\frac{2}{5}~,~ \mu=-\frac{1}{5} $

sowie

$ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}~=~\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ~+~\mu~\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} ~\rightarrow~ \begin{array}{c} 0=\lambda-3\mu \\ 1=\lambda+2\mu \end{array}~\rightarrow~ \lambda=\frac{3}{5}~,~ \mu=\frac{1}{5} $

Daraus ergibt sich die Transformationsmatrix M_K->B = $ \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix} $

zu b)
Nun kann man kartesische Koordinaten in Koordinaten bzgl der Basis B umrechnen:
$ \vec{p}_{B} = M_{K \rightarrow B} \cdot \vec{p}_{K} $
Für P: $ \vec{p}_{B} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{18}{5} \\ \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

Für Q: $ \vec{q}_{B} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} \end{pmatrix}$

Anmerkung: Die Transformationsmatrix M_B->K = $ \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $ ist sofort darzustellen.

Eine Transformationsmatrix ist die Inverse der anderen.

Bodybilder W. is(s)t sehr ernährungsbewusst zur Aufrechterhaltung seiner körperlichen und geistigen Funktionen. Deshalb mixt er täglich einen Gesundheitstrunk aus den drei Nahrungsergänzungsmitteln VIA (Vital im Alter), BODYMED und BRAINDRAIN. Die prozentualen Anteile an Kohlehydraten (K), Eiweiß (E) und Fetten (F) seiner Mittel sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst:

	VIA	BODYMED	BRAINDRAIN
Kohlehydrate	30	20	25
Eiweiß	20	45	55
Fette	50	35	20

Er möchte einen Trunk mixen, der 25% Kohlehydrate, 45% Eiweiß und 30% Fette enthält. Welche Anteile an den drei Mitteln sind dafür erforderlich? Zeigen Sie, dass man damit keinen Drink mixen kann, der 30% Kohlehydrate, 40% Eiweiß und 30% Fette mixen kann.

Seien x, y und z die jeweiligen (positiven) Anteile der Produkte VIA, BODYMED und BRAINDRAIN.Dann gilt:

$ \begin{array}{c} Kohlehydrate:~~ \\ Eiweiß: \\ Fette: \end{array}\begin{array}{c} 30x+20y+25z=25 \\ 20x+45y+55z=45 \\ 50x+35y+20z=30 \end{array}~\rightarrow~ x=\frac{2}{9}~,~~y=\frac{2}{9}~,~~z=\frac{5}{9}$

Das Mixgetränk besteht aus jeweils gut 22% Anteile von VIA und BODYMED sowie knapp 56% Anteil von BRAINDRAIN.

Für einen Drink, der 30% Kohlehydrate, 40% Eiweiß und 30% Fette enthält, müsste man wegen der Kohlenhydrate schon zu 100% VIA verwenden. Dann stimmen aber die Anteile an Eiweiß und Fetten nicht.
Man kann es aber auch rechnerisch nachweisen:
$ \begin{array}{c} Kohlehydrate:~~ \\ Eiweiß: \\ Fette: \end{array}\begin{array}{c} 30x+20y+25z=30 \\ 20x+45y+55z=40 \\ 50x+35y+20z=30 \end{array}~\rightarrow~ x=\frac{5}{9}~,~~y=\frac{-4}{9}~,~~z=\frac{8}{9}$
Die rechnerische Lösung erfordert einen negativen Anteil an BODYMED. Das ist im Sachzusammenhang natürlich sinnfrei.

Klausur

1.	a) Erläutern Sie die Begriffe 'lineare Unabhängigkeit von Vektoren' und 'Basis eines Vektorraums'. b) Gegeben sind die Vektoren: $\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{b} = (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})$ , $\vec{c} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ , $\vec{d} = (\begin{matrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{matrix})$ . Überprüfen Sie, ob einer der Vektoren $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ kollinear zum Vektor $\vec{d}$ ist. Zeigen Sie, dass die Vektoren $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ eine Basis des R³ bilden und berechnen Sie für $\vec{d}$ die Koordinaten bezüglich dieser Basis. c) Geben Sie die mögliche Lage zweier Ebenen im R³ an. Wie sieht es im R⁴ aus? zu a) Definition 'lineare Unabhängigkeit von Vektoren': (mit a_i ∈ R) $$\vec{x_0},~ \vec{x_1},~...,~\vec{x_n}~ lin~ unabhängig~~\leftrightarrow~~(a_0\cdot\vec{x_0}+a_1\cdot\vec{x_1}+...+a_n\cdot\vec{x_n}=\vec{0}~\rightarrow~\forall i~a_i=0 ~einzige~ Lösung)$$ Anmerkung: Es bedeutet, dass sich kein Vektor ${\vec{x}}_{i}$ als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Definition 'Basis eines Vektorraums V': $$\vec{x_0},~ \vec{x_1},~...,~\vec{x_n}~ Basis ~~\leftrightarrow~~\vec{x_0},~ \vec{x_1},~...,~\vec{x_n}~lin~unabh.~und~(\forall~\vec{v}\in V)~\vec{v}=a_0\cdot\vec{x_0}+a_1\cdot\vec{x_1}+...+a_n\cdot\vec{x_n}$$ zu b) Zwei Vektoren sind kollinear (also linear abhängig), wenn ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist. Es muss demnach eine reelle Zahl k geben mit $\vec{a} = k⋅ \vec{d}$ . Aus $\vec{a} = k⋅ \vec{d}$ folgt: $(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) = k⋅ (\begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \end{matrix})$ → $\begin{array}{l} 1 = 5⋅k \\ 4 = -1⋅k \\ 0 = 3⋅k \end{array}$ → $\begin{array}{l} k = 1/5 \\ k = -4 \\ k = 0 \end{array}$ → es existiert kein k. Folgerung: $\vec{a} und \vec{d}$ sind nicht kollinear. Aus $\vec{b} = k⋅ \vec{d}$ folgt: $(\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) = k⋅ (\begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \end{matrix})$ → $\begin{array}{l} -1 = 5⋅k \\ 3 = -1⋅k \\ 1 = 3⋅k \end{array}$ → $\begin{array}{l} k = -1/5 \\ k = -3 \\ k = 1/3 \end{array}$ → es existiert kein k. Folgerung: $\vec{b} und \vec{d}$ sind nicht kollinear. Aus $\vec{c} = k⋅ \vec{d}$ folgt: $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = k⋅ (\begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \end{matrix})$ → $\begin{array}{l} 2 = 5⋅k \\ 1 = -1⋅k \\ 1 = 3⋅k \end{array}$ → $\begin{array}{l} k = 2/5 \\ k = -1 \\ k = 1/3 \end{array}$ → es existiert kein k. Folgerung: $\vec{c} und \vec{d}$ sind nicht kollinear. zu ' $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ bilden Basis': Am einfachsten ist es, die Determinante, die durch die Vektoren gegeben ist, zu überprüfen: det ( $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ) ≠ 0 ↔ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ linear unabhängig det ( $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ) = $\| \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \|$ = 14 → $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ linear unabhängig → Die Vektoren $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ bilden eine Basis des R³. Dann kann der Vektor $\vec{d}$ als Linearkombination der Vektoren $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ dargestellt werden: $\vec{d} = x⋅\vec{a}+ y⋅\vec{b}+ z⋅\vec{c}$ → $(\begin{matrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{matrix}) = x⋅ (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) + y⋅ (\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + z⋅ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ (lin. Gleichungssystem) → $\vec{d} = -1⋅\vec{a}+ 0⋅\vec{b}+ 3⋅\vec{c}$ zu c) 2 Ebenen können im R³ parallel zueinander liegen, identisch sein oder als Schnittmenge eine Gerade besitzen. Im R⁴ können die beiden Ebenen auch nur einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
2.	Gegeben ist ein Quader durch die Punkte A(0/0/0) , B(6/0/0), D(0/5/0) und E(0/0/4). Weiterhin ist der Mittelpunkt M der Strecke BC gegeben. a) Zeichnen Sie den Quader und geben Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte sowie des Punktes M an. b) Drücken Sie die Vektoren $\vec{CH} und \vec{MG}$ als Linarkombination der Vektoren $\vec{a} = \vec{AB}, \vec{b} = \vec{AD} und \vec{c} = \vec{AE}$ aus. c) Bestimmen Sie die Gerade g durch C und E. d) Geben Sie eine zu g parallele Gerade g' durch H an. e) Ermitteln Sie den Punkt K (x/5/z), der auf der Geraden g liegt. f) Untersuchen Sie, ob sich die Gerade g und die durch die Punkte M und F bestimmte Gerade k schneiden und bestimmen Sie ggfs. ihren Schnittpunkt. g) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Ebene E, die durch die Punkte C, F, und H gegeben ist, mit der Geraden h, die durch M und E gegeben ist. h) Geben Sie eine Ebenengleichung E' für eine Ebene an, die parallel zur x-z-Grundebene ist sowie eine weitere Ebenengleichung E'' für eine Ebene, die parallel zur Geraden g ist. zu a) s. Zeichnung C(6/5/0) F(6/0/4) G(6/5/4) H(0/5/4) M(6/2,5/0) zu b) Vektorzüge durchführen: $ \vec{CH}~=~\vec{CD}~+~\vec{DH}~=~-\vec{a}~+~\vec{c}$ $ \vec{MG}=\vec{MC}+\vec{CG}=\frac{1}{2}\vec{BC}+\vec{c}=\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}$ zu c) Mit der 2-Punkte -Form folgt: g: $ \vec{r}~=~ \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} ~+~\lambda \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} $ zu d) Parallele Geraden besitzen kollineare Richtungsvektoren. g': $ \vec{r}~=~ \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} ~+~\lambda \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} $ zu e) Ortsvektor $ \vec{k}$ in g einsetzen und λ bestimmen. Daraus die fehlenden Koordinaten berechnen. Also: $ \begin{pmatrix} x \\ 5 \\ z \end{pmatrix}~=~ \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} ~+~\lambda \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}~~\rightarrow~~\lambda~=~0~(wegen~5=5-\lambda\cdot5)~~\rightarrow~~K(6/5/0) $ K ist demnach mit C identisch. zu f) Gerade g: $ \vec{r}~=~ \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} ~+~\lambda \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} $ Gerade k: $ \vec{r}~=~\begin{pmatrix} 6 \\ 2,5 \\ 0 \end{pmatrix} ~+~\mu^{'}~\begin{pmatrix} 0 \\ -2,5 \\ 4 \end{pmatrix}~\rightarrow~ \vec{r}~=~\begin{pmatrix} 6 \\ 2,5 \\ 0 \end{pmatrix} ~+~\mu~\begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}$ Man erkennt leicht, dass die Richtungsvektoren der Geraden g und k nicht kollinear sind. Die Geraden können sich schneiden oder windschief sein. Um das zu entscheiden, prüft man, ob die beiden Richtungsvektoren sowie die Differenz der Ortsvektoren $ \begin{pmatrix} 6 \\ 2,5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ -2,5 \\ 0 \end{pmatrix}$ komplanar sind. Am einfachsten bestimmt man die Determinante der Vektoren: $ \begin{vmatrix} 0 & -6 & 0\\ -2,5 & -5 & -5 \\ 0 & 4 & 8 \end{vmatrix}~=~-120$ Da die Determinante ungleich Null ist, sind die Geraden g und k windschief. Anmerkung: Man kann auch gleich den Ortsvektor einer Gerade in die andere Gerade einsetzen und überprüfen, ob es einen gemeinsamen Parameter λ gibt (alle drei entstehenden Gleichungen überprüfen). Ist es der Fall, kann mit dem gefundenen λ der Schnittpunkt errechnet werden. zu g) mit 3-Punkte-Form Ebene E bestimmen: $ \vec{r}= \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} +\mu \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} $ mit 2-Punkte-Form Gerade h bestimmen: $ \vec{r}= \begin{pmatrix} 6 \\ 2,5 \\ 0 \end{pmatrix} +\nu^{'} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -2,5 \\ 4 \end{pmatrix} ~\rightarrow~ \vec{r}= \begin{pmatrix} 6 \\ 2,5 \\ 0 \end{pmatrix} +\nu \cdot \begin{pmatrix} -12 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}$ Ohne Skalarprodukt ist die Bestimmung eines Schnittpunktes recht mühsam. Aber dennoch: Gerade und Ebene gleichsetzen: $ \begin{pmatrix} 6 \\ 2,5 \\ 0 \end{pmatrix} +\nu \cdot \begin{pmatrix} -12 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} +\mu \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ → $ \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} +\mu \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+\nu \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 5 \\ -8 \end{pmatrix}~=~ \begin{pmatrix} 0 \\ -2,5 \\ 0 \end{pmatrix} $ → λ = 0 , μ = -1 , ν = -0,5 ν = -0,5 in die Geradengleichung einsetzen: $ \begin{pmatrix} 6 \\ 2,5 \\ 0 \end{pmatrix} - 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -12 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}~=~\begin{pmatrix} 12 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} $ Schnittpunkt S(12/5/-4) zu h) E': $ \vec{r}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $ Die Spannvektoren von E'' und der Richtungsvektor von g müssen komplanar sein. Ein Spannvektor kann z.B. dem Richtungsvektor von g entsprechen. E'': $ \vec{r}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} +\mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $
3.	Die Erbauer von Gotham City haben ihre Straßen zwar regelmäßig, aber nicht rechtwinklig gebaut, sondern in der angegeben Form. Der Landetrupp der Enterprise soll sich vom Landepunkt (Marktplatz M) zur Energiezentrale E und anschließend zum Regierungspalast R begeben. Leider sind nur die kartesischen Koordinaten der Punkte bekannt: M(0/0), E(22/16) und R(6/-4). Die Basis B von Gotham City besteht aus den Basisvektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$ . a) Bilden Sie die Transformationsmatrix, die kartesische Koordinaten in Gotham-Koordinaten umrechnet. b) Ermitteln Sie die Gotham-Koordinaten von M, E und R. c) Wie muss sich folglich der Landetrupp in den Straßen von Gotham City bewegen? zu a) Um die Transformationsmatrix M_K->B zu erhalten, müssen die Basisvektoren der kartesischen Basis durch die Basisvektoren der Basis B ausgedrückt werden. $ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}~=~\lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} ~+~\mu~\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} ~\rightarrow~ \begin{array}{c} 1=2\lambda+3\mu \\ 0=0\lambda+2\mu \end{array}~\rightarrow~ \lambda=\frac{1}{2}~,~ \mu=0 $ sowie $ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}~=~\lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} ~+~\mu~\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} ~\rightarrow~ \begin{array}{c} 0=2\lambda+3\mu \\ 1=0\lambda+2\mu \end{array}~\rightarrow~ \lambda=-\frac{3}{4}~,~ \mu=\frac{1}{2} $ Daraus ergibt sich die Transformationsmatrix M_K->B = $ \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $ zu b) Nun kann man kartesische Koordinaten in Koordinaten bzgl der Basis B umrechnen: $ \vec{p}_{B} = M_{K \rightarrow B} \cdot \vec{p}_{K} $ Für M: $ \vec{m}_{B} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ Für E: $ \vec{e}_{B} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 22 \\ 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 8 \end{pmatrix}$ Für R: $ \vec{e}_{B} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$ Anmerkung: Die Transformationsmatrix M_B->K = $ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $ ist sofort darzustellen. Eine Transformationsmatrix ist die Inverse der anderen. zu c) Der Landetrupp muss sich vom Marktplatz einen Straßenzug nach links und dann 8 Straßenzüge nach schräg oben bewegen, um zur Energiezentrale zu gelangen. Von dort sind es 7 Straßenzüge nach rechts und dann 10 Straßenzüge nach schräg unten, um den Regierungspalast zu erreichen.