Ansatz: Parabelgleichung: f(x) = a ⋅ x² + b ⋅ x + c

Einsetzen der Punkte:

Punkt A: f(x) = a ⋅ (-1)2 + b ⋅ (-1) + c = 6	→       I.	a - b + c = 6
Punkt B: f(x) = a ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c = 9	→      II.	4 ⋅ a + 2 ⋅ b + c = 9
Punkt C: f(x) = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c = 4	→     III.	a + b + c = 4

Das ist ein Gleichungssystem bestehend aus drei Gleichungen.
Es kann mit Hilfe des Taschenrechners oder mit einem Rechenverfahren (z.B. Additionsverfahren) gelöst werden.

Man erhält: a = 2 ; b = -1 ; c = 3   →    f(x) = 2 ⋅ x² - 1 ⋅ x + 3

Das Summenzeichen wurde von  eingeführt. Es bedeutet, dass nacheinander in den Ausdruck nach dem Summenzeichen für die Laufvariable (in den Aufgaben i bzw. k) natürliche Zahlen vom Anfangs- bis zum Endwert eingesetzt werden und die jeweiligen Ergebnisse addiert werden.

Im Einzelnen:

$$ \sum_{i=1}^{3} (3 i + 6) = 9 + 12 +15 = 36 $$ $$ Geometrische Reihe: \sum_{k=0}^{7} 1,5^k = 1,5^0 + 1,5^1 + ... + 1,5^7 = \frac {1,5^8 - 1}{1,5 - 1} \approx 49,26$$ $$ Geometrische Reihe: \sum_{i=0}^{\infty} 0,6^i = 0,6^0 + 0,6^1 + ... = \frac {1}{1 - 0,6} = 2,5$$

Anmerkung: Will man die Ausdrücke multiplizieren statt sie zu addieren, verwendet man ein großes Pi: $$ \prod_{i=1}^{3} i = 1 \cdot 2 \cdot 3 (= 3!)$$

Die Weg-Zeit-Funktionen der Züge lassen sich aufgrund gleichbleibender Geschwindigkeiten mit Hilfe von linearen Funktionen beschreiben:

    f: Zeit t in Minuten   →   Entfernung s in km
    s = f(t) = v ⋅ t + s₀

Die jeweiligen Nullpunkte sind festzulegen. Gewählt: 9.00 Uhr entspricht der Zeit t = 0 und die Entfernung wird von Husum gemessen. Die 'Steigung' einer Funktion entspricht der Geschwindigkeit v (in $\frac{\mathrm{km}}{\min }$) des jeweiligen Zuges.
Dann lassen sich die Fahrten der Züge wie folgt beschreiben:

Küstennebel: s = f(t) = $\frac{\mathrm{150}}{\mathrm{100}}$ ⋅ (t - 13) = $\frac{3}{2}$ ⋅ t - 19,5

Wattwurm:    s = f(t) = - $\frac{\mathrm{150}}{\mathrm{120}}$ ⋅ (t - 48) + 150 = - $\frac{5}{4}$ ⋅ t + 210

Kurze Erläuterung: Wenn t = 13 Minuten ist (Start des Küstennebels) ist die Entfernung von Husum gerade Null. Wenn t = 48 Minuten ist, ist die Entfernung des Wattwurms von Husum 150 km. Die Entfernung von Husum wird im weiteren Verlauf kleiner, deshalb das Minuszeichen bzgl der Geschwindigkeit.
Die "Gültigkeit (Definitionsbereich)" der Funktionen gilt strenggenommen nur für die jeweiligen Zeitintervalle des Fahrens.

Man erhält 2 Gleichungen mit zwei Unbekannten. Das System löst man mit Hilfe eines Taschenrechners oder z.B. des Additionsverfahrens: t = 85 Minuten , s = 108 km.
Antwort: Die Züge treffen sich um 10.25 Uhr (85 min von 9.00 Uhr) in einer Entfernung von 108 km von Husum.

Anmerkung: Natürlich kann die Aufgabe auch zeichnerisch gelöst werden (gute Übung). Zeitachse horizontal, Entfernung vertikal zeichnen (Fachtermini: Abszisse: Zeit; Ordinate:Entfernung).

zu a)

direkt ablesbar sind die Nullstellen von f: x_n1 = -3 und x_n2 = 1

Mittels p-q-Formel bestimmt man die Nullstellen von g: x_n1 = 1 und x_n2 = 4
Die zu g gehörende Parabel ist nach unten geöffnet.

Schnittpunktbestimmung durch Gleichsetzen: (x_s + 3)(x_s - 1) = -x_s² + 5x_s - 4   →  x_s1 = 0,5 und x_s2 = 1
Einsetzen der x_s-Werte in eine der Funktionsgleichungen ergibt: S₁ (0,5 / -1,75) und S₂ (1 / 0).

zu b)

Raten einer Nullstelle: x_n1 = -1

Dann Polynomdivision: (x³ – x² –5x – 3) : (x + 1) = x² - 2 x - 3

Die Nullstellen der quadratischen Funktion mit der p-q-Formel ermitteln: x_n2 = -1 sowie x_n3 = 3.

Also: h(x) = x³ – x² –5x – 3 = (x + 1)² (x - 3). -1 ist doppelte Nullstelle.

Die Füllhöhe-Zeit-Funktion des Zulaufs lässt sich aufgrund der Gleichmäßigkeit des Einfüllens mit Hilfe einer linearen Funktion beschreiben:

    f: Zeit t in Minuten   →   Füllhöhe h in cm
     h(t) = v ⋅ t + h₀

Die jeweiligen Nullpunkte sind festzulegen. Der Beginn des Zulaufs entspricht der Zeit t = 0 und die Füllhöhe wird vom Boden des Gefäßes gemessen. Die 'Steigung' der Funktion entspricht der Füllgeschwindigkeit v (in $\frac{\mathrm{cm}}{\min }$).

Man kennt 2 'Punkte' auf dem Graphen der Funktion: (3 / 25) sowie (5 / 33).
Diese werden in die Funktion eingesetzt. Man erhält ein Gleichungssystem mit zwei Variablen (Füllgeschwindigkeit v und Füllhöhe h₀ zu Beginn des Einfüllens).

       h(3) = v ⋅ 3 + h₀ = 25
       h(5) = v ⋅ 5 + h₀ = 33

Dieses Gleichungssystem lässt sich lösen: v = 4 $\frac{\mathrm{cm}}{\min }$ , h₀ = 13 cm.

Die Zuordnungsvorschrift lautet:   h(t) = 4 ⋅ t + 13

Die Tonne war zu Beginn der Füllung nicht leer, vielmehr stand das Wasser 13 cm hoch.
Um die Zeit bis zur vollständigen Füllung zu bestimmen (vom Beginn des Einfüllens), setzen wir einfach
h(t) = 4 ⋅ t + 13 = 80 und bestimmen die Zeit t.
Man erhält t = 16,75 Minuten = 16 Minuten und 45 Sekunden.

Die Kosten-Kugel-Funktion lässt sich durch eine 'lineare' Funktion beschreiben:

     f: Anzahl n Kugeln   →   Kosten k in €
     k(n) = v ⋅ n + k₀

k₀ kann man als Fixkosten auffassen. Hier ist es der Eintritt.
Die 'Steigung' der Funktion entspricht den Kosten v (in €) pro Kugel.
Die Besonderheit liegt hier darin, dass es eigentlich nur ganze Kugeln gibt, der Definitionsbereich demnach die natürlichen Zahlen ℕ sind.
Man kann trotzdem 'normal' rechnen. Bei der Lösung sind ggfs 'Ränder' zu beachten.

       Mario: k(n) = 1,4 ⋅ n + 1
       Luigi: k(n) = 1,8 ⋅ n

Die Schnittstelle beider Graphen erhält man durch Gleichsetzen: n = 2,5.
Daraus resultiert die Antwort: Wer mehr als 2 Kugeln Eis essen möchte, geht zu Mario, ansonsten zu Luigi.

Die zeichnerische Lösung (Abszisse: Anzahl Kugeln, Ordinate: Kosten) sollte das gleiche Ergebnis liefern.

Erspartes:

nach 1 Jahr:    K(1) = 600 ⋅ 1,025 + 600
nach 2 Jahren: K(2) = K(1) ⋅ 1,025 + 600 = 600 ⋅ 1,025² + 600 ⋅ 1,025 + 600
nach n Jahren: K(n) = K(n-1) ⋅ 1,025 + 600 = 600 ⋅ 1,025ⁿ + 600 ⋅ 1,025^n-1 + ... + 600 ⋅ 1,025 + 600

K(n) lässt sich als geometrische Reihe darstellen. Angewandt auf n = 40: $$ K(40) = 600 \cdot \sum_{i=0}^{40} 1.025^i = 600 \cdot \frac {1,025^{40+1}-1}{1,025 - 1} \approx 600 \cdot 70,09 \approx 42053$$ Demnach erhält Hans-Friedrich nach 40 Jahren gut 42000 €. Marie-Luise wird wohl eher Hans-Friedrich - zumindest in finanziellen Dingen - meiden.

Ansatz Geradengleichung f(x) = m ⋅ x + b
Je 2 Punkte in die Geradengleichung einsetzen und das entstehende Gleichungssystem lösen.
zu a:
Gerade durch A und B: f_AB(x) = 0 ⋅ x + 1
Gerade durch A und C: f_AC(x) = 1 ⋅ x - 1
Gerade durch B und C: f_BC(x) = -2 ⋅ x + 11

zu b:
Die Seitenhalbierende s_b verläuft durch B und den Mittelpunkt M_AC der Strecke AC. Mittelpunkt einer Strecke bestimmen: zugehörige Koordinaten addieren und die Summe halbieren. Damit M_AC = ($\frac{\mathrm{2\; +\; 4}}{2}$ / $\frac{\mathrm{1\; +\; 3}}{2}$ ) = (3 / 2)
M_AC und B in die Geradengleichung einsetzen und das Gleichungssystem lösen:
s_b = -0,5 ⋅ x + 3,5

zu c:
Zwei Geraden sind genau dann zueinander orthogonal, wenn das Produkt der zugehörigen Steigungen -1 beträgt: m₁ ⋅ m₂ = -1.
Eine Überprüfung ergibt: 0 ⋅ 1 = 0 ; 0 ⋅ (-2) = 0 ; (-2) ⋅ 1 = -2. Daraus folgt: kein rechtwinkliges Dreieck.

$$ a. ~\lim_{x \to 3} \frac {x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac {(x + 3) (x - 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$$
$$ b. ~\lim_{x \to -0,5} \frac {4x^2 - 1}{2x + 1} = \lim_{x \to -0,5} \frac {(2x + 1) (2x - 1)}{2x + 1} = \lim_{x \to -0,5} (2x - 1) = -2$$
$$ c. ~\lim_{x \to \infty} \frac {6x^4 - 2x^3 + 4}{3x^4 + 6x - 1} = \frac {6}{3} = 2$$
Zu c:
Zähler- und Nennerpolynom haben die gleiche höchste Potenz. Für x → ∞ kommt es dann nur auf die Koeffizienten der höchsten Potenzen an.

zu a)
Der scheinbare Widerspruch mit der Realität löst sich auf, wenn man den Begriff des Grenzwerts verwendet.
Denn der Vorsprung, den die Schildkröte erläuft, wird von Mal zu Mal kleiner. Summiert man die (unendlich vielen) Vorsprünge auf, überschreitet man dabei aber nicht einen bestimmten Wert - dem Grenzwert. Haben beide - sowohl Achill als auch die Schildkröte - diesen Wert erreicht, ist die Schildkröte eingeholt.
zu b)
Im Beispiel bildet man die Summe der Strecken $$ s = 100 + 10 + 1 + 0,1 ... = 1,1111111... = 100 \cdot \sum_{i=0}^{\infty} 0,1^i = \frac {1}{1 - 0,1} = 100 \cdot \frac {10}{9}$$ Nach 111$\frac{1}{9}$ m hat Achill Schildi eingeholt. Achills Geschwindigkeit beträgt v = $\frac{s}{t}$ = $\frac{\mathrm{100\; m}}{\mathrm{15\; s}}$
Dafür benötigt er die Zeit t = $\frac{s}{v}$ = $\frac{\mathrm{1000}}{9}$ ⋅ $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{100}}$ = 16$\frac{2}{3}$ s.

Im Einzelnen:

a)
$$ \sum_{i=2}^{4} (i^2 - 2i) = 0 + 3 + 8 = 11$$ $$\sum_{i=1}^{4} (\frac {3}{4})^i = \frac {3}{4} + \frac {9}{16} + \frac {27}{64} + \frac {81}{256} = \frac {525}{256} $$ $$~~~~(= \sum_{i=0}^{4} (\frac {3}{4})^i - 1 = \frac {0,75^5 - 1}{0,75 - 1} - 1 )$$ $$ \sum_{k=0}^{\infty} (\frac {4}{5})^k = \frac {1}{1 - 0,8} = 5$$ b)
Ansatz: f(x) = m ⋅ x + b = 1,5 ⋅ x + b
Punkt P einsetzen: -1 = 1,5 ⋅ 2 + b   →   b = -4
Daraus folgt: f(x) = 1,5 ⋅ x - 4

c)
Ansatz: x⁴ - 2x² - 3 = 0
Das ist eine biquadratische Gleichung. Substituiere z = x².
Man erhält: z² - 2z - 3 = 0.
Lösung mit p-q-Formel: z₁ = -1 und z₂ = 3
Substitution wieder einsetzen:
x² = -1. Das ist nicht lösbar.
x² = 3. Daraus folgen die Nullstellen x₁ = -$\sqrt{3}$ sowie x₂ = $\sqrt{3}$.

d)
Ansatz: x³ + x² - 5x + 3 = 0
Durch Raten: x_N1 = 1.
Weiter mit Polynomdivision: (x³ + x² - 5x + 3) : (x - 1) = x² + 2x - 3.
Mit p-q-Formel für die resultierende quadratische Gleichung folgt: x_N2 = -1 und x_N3 = 3
Graph von f:
Gggfs Funktionsplotter verwenden (auf der Homepage vorhanden).

e) $$ I. ~\lim_{x \to 3} \frac {x^2 - 6x + 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac {(x - 3) (x - 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x - 3) = 0$$ $$ II. ~\lim_{x \to -0,5} \frac {4x^2 - 1}{2x + 1} = \lim_{x \to -0,5} \frac {(2x + 1) (2x - 1)}{2x + 1} = \lim_{x \to -0,5} (2x - 1) = -2$$ $$ c) ~\lim_{x \to \infty} \frac {6x^4 - 2x^3 + 4}{2x^4 + 8x} = \frac {6}{2} = 3$$ Zu III.
Zähler- und Nennerpolynom haben die gleiche höchste Potenz. Für x → ∞ kommt es dann nur auf die Koeffizienten der höchsten Potenzen an.

zu a)
Geschwindigkeit v = $\frac{\mathrm{Weg\; s}}{\mathrm{Zeit\; t}}$
Für den 'Syltflüchtling' v = $\frac{\mathrm{220\; km}}{\mathrm{160\; min}}$ = 1,375 $\frac{\mathrm{km}}{\min }$

Für den 'Touristenschlepper' v = $\frac{\mathrm{220\; km}}{\mathrm{180\; min}}$ = $\frac{\mathrm{11}}{9}$ $\frac{\mathrm{km}}{\min }$

zu b)

Die Weg-Zeit-Funktionen der Züge lassen sich aufgrund gleichbleibender Geschwindigkeiten mit Hilfe von linearen Funktionen beschreiben:

    f: Zeit t in Minuten   →   Entfernung s in km
    s = f(t) = v ⋅ t + s₀

Die jeweiligen Nullpunkte sind festzulegen. Gewählt: 8.00 Uhr entspricht der Zeit t = 0 und die Entfernung wird von Westerland gemessen. Die 'Steigung' einer Funktion entspricht der Geschwindigkeit v (in $\frac{\mathrm{km}}{\min }$) des jeweiligen Zuges.
Dann lassen sich die Fahrten der Züge wie folgt beschreiben:

Syltflüchtling: s = f(t) = $\frac{\mathrm{220}}{\mathrm{160}}$ ⋅ (t - 13) = $\frac{\mathrm{11}}{8}$ ⋅ t - 17,875

Touristenschlepper:    s = f(t) = - $\frac{\mathrm{220}}{\mathrm{180}}$ ⋅ (t - 48) + 220 = - $\frac{\mathrm{11}}{9}$ ⋅ t + 278$\frac{2}{3}$

Kurze Erläuterung: Wenn t = 13 Minuten ist (Start des Syltflüchtlings) ist die Entfernung von Westerland gerade Null. Wenn t = 48 Minuten ist, beträgt die Entfernung des Touristenschleppers von Westerland 220 km. Die Entfernung von Westerland wird im weiteren Verlauf kleiner, deshalb das Minuszeichen bzgl der Geschwindigkeit.
Die "Gültigkeit (Definitionsbereich)" der Funktionen gilt strenggenommen nur für die jeweiligen Zeitintervalle des Fahrens.

Man erhält 2 Gleichungen mit zwei Unbekannten. Das System löst man mit Hilfe eines Taschenrechners oder z.B. des Additionsverfahrens: t ≈ 114 Minuten , s ≈ 139 km.
Antwort: Die Züge treffen sich gegen 9.54 Uhr (114 min von 8.00 Uhr) in einer Entfernung von 139 km von Westerland.

Anmerkung:
Zeitachse horizontal, Entfernung vertikal zeichnen (Fachtermini: Abszisse: Zeit; Ordinate:Entfernung). Rot: Touristenschlepper

Ansatz Geradengleichung f(x) = m ⋅ x + b
Je 2 Punkte in die Geradengleichung einsetzen und das entstehende Gleichungssystem lösen.
zu a:
Gerade c durch A und B: f_AB(x) = $\frac{1}{3}$ ⋅ x + 1
Gerade b durch A und C: f_AC(x) = 2 ⋅ x + 1
Gerade a durch B und C: f_BC(x) = -$\frac{1}{2}$ ⋅ x + 6

zu b:
Zwei Geraden sind genau dann zueinander orthogonal, wenn das Produkt der zugehörigen Steigungen -1 beträgt: m₁ ⋅ m₂ = -1.
Eine Überprüfung ergibt: 2 ⋅ (-$\frac{1}{2}$) = -1
b ist orthogonal zu a. Daraus folgt: rechtwinkliges Dreieck.

zu c:
Die Mittelsenkrechte m_a verläuft durch den Mittelpunkt der Strecke BC und ist orthogonal zu a.
Steigung der Mittelsenkrechten m = 2 (denn 2 ⋅ (-$\frac{1}{2}$) = -1).
Mittelpunkt einer Strecke bestimmen: zugehörige Koordinaten addieren und die Summe halbieren.
Damit M_BC = ($\frac{\mathrm{6\; +\; 2}}{2}$ / $\frac{\mathrm{3\; +\; 5}}{2}$) = (4 / 4).
Einsetzen von M_BC: 4 = 2 ⋅ 4 + b   →   b = -4
m_a = 2 ⋅ x - 4

zu d)
Zeichnung:

zu e:
Ansatz Parabelgleichung f(x) = a ⋅ x² + b ⋅ x + c
Punkte A, B und C in die Gleichung einsetzen und das entstehende Gleichungssystem lösen.

Punkt A: f(x) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = 1	→       I.	c = 1
Punkt B: f(x) = a ⋅ 62 + b ⋅ 6 + c = 3	→      II.	36 ⋅ a + 6 ⋅ b + c = 3
Punkt C: f(x) = a ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c = 5	→     III.	4 ⋅ a + 2 ⋅ b + c = 5

Dann f(x) = -$\frac{5}{\mathrm{12}}$ ⋅ x²+ $\frac{\mathrm{17}}{6}$ ⋅ x + 1
Ansatz Nullstellen:-$\frac{5}{\mathrm{12}}$ ⋅ x²+ $\frac{\mathrm{17}}{6}$ ⋅ x + 1 = 0   →   x_N = $\frac{1}{5}$ ⋅ (17 ± $\sqrt{\mathrm{349}}$)


zu f)
Gleichsetzen von Geraden und Parabelgleichung: -0,5 ⋅ x + 6 = x² - x + 3
Daraus folgt: x² - 0,5 ⋅ x - 3 = 0   →   x_S1 = -1,5 und x_S2 = 2
Durch Einsetzen z.B. in die Geradengleichung erhält man die Schnittpunkte: S₁(-1,5 / 6,75) sowie S₂(2 / 5).

zu a)
Die Pizzenfläche lässt sich als unendliche Summe darstellen:
$$A = 1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{4} + \frac {1}{8} + ... = \sum_{i=0}^{\infty} (\frac {1}{2})^i = \frac {1}{1-0,5} = 2$$ Er müsste dann im Prinzip 2 normale Pizzen essen. Das kann man schaffen.

zu b)
Wir gehen von kreisförmigen Pizzen aus. Sei r der Radius der Ausgangspizza.
Da die ersten beiden Pizzen 1,5 normalen Pizzenflächen entsprechen, bleibt für die Summe der restlichen Pizzaflächen nur 0,5 normale Pizzen.
Normale Pizza: A = π ⋅ r²
Summe der restlichen Pizzenflächen A' = π ⋅ r'² = 0,5 ⋅ A = 0,5 ⋅ π ⋅ r²
Daraus folgt $\frac{\mathrm{r\text{'}}}{r}$ = $\sqrt{\mathrm{0,5}}$   →   r' = $\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$ ⋅ r ≈ 0,71 ⋅ r

Ansatz Parabel f(x) = a ⋅ x² + b ⋅ x + c
Wegen des Hinweises einer Normalparabel gilt a = 1.
Ablesen der Nullstellen: x^N1 = -3 und x_N2 = 1
Deshalb gilt: f(x) = (x + 3) (x - 1) = x₂ + 2x - 3