Sind auf einer Menge M zwei Verknüpfungen definiert, können wir eine weitere Struktur beschreiben, welche ein 'vernünftiges' Rechnen erlaubt. Dies führt zur Definition eines Körpers.
Definition:
Ein Tripel ( M , + , ᵒ ) bestehend aus einer Menge M und zweier Verknüpfungen + und ᵒ heißt Körper, wenn folgende Axiome erfüllt sind:
1. ( M , + ) ist eine kommutative Gruppe.
2. ( M \ {0} , ᵒ ) ist eine (kommutative) Gruppe.
3. Es gilt das Distributivgesetz
$$ (\forall a, b, c \in M) \text{ }a \text{ }ᵒ \text{ }(b \text{ }+ \text{ }c) \text{ }= \text{ } a \text{ }ᵒ \text{ }b \text{ }+ \text{ }a\text{ }ᵒ \text{ }c $$ $$ (\forall a, b, c \in M) \text{ }(a \text{ }+ \text{ }b) \text{ }ᵒ \text{ }c \text{ }= \text{ } a \text{ }ᵒ \text{ }c \text{ }+ \text{ }b\text{ }ᵒ \text{ }c $$Anmerkung: Das zweite Distributivgesetz ist nur erforderlich, falls (M \ {0} , ᵒ ) nicht kommutativ ist. Gilt das Kommutativgesetz für die Multiplikation, ist es ein kommutativer Körper.
Das neutrale Element der Addition wird üblicherweise 0 genannt, das neutrale Element der Multiplikation wird 1 genannt.
Die Multiplikation mit dem neutralen Element der additiven Gruppe ergibt dieses neutrale Element. Also a ᵒ 0 = 0.
Ein Körper besteht wegen der Existenz verschiedener neutraler Elemente der Verknüpfungen aus mindestens zwei Elementen.
Beispiele
| (ℤ , + , · ) | Menge der ganzen Zahlen mit den Verknüpfungen + und · | keine Gruppe, denn es gibt nicht unbedingt inverse Elemente bzgl der Multiplikation. |
| (ℚ , + , · ) | Menge der rationalen Zahlen mit den Verknüpfungen + und · | kommutativer Körper |
| (ℝ , + , · ) | Menge der reellen Zahlen mit den Verknüpfungen + und · | kommutativer Körper |
Wir betrachten nun endliche Körper. Wir können wie bei Gruppen Verknüpfungstafeln erstellen.
Die Gültigkeit der Gruppeneigenschaften lassen sich bis auf das Assoziativgesetz leicht an einer Verknüpfungstafel ablesen. Das Distributivgesetz muss eigentlich für alle möglichen Fälle überprüft werden.
Wie bereits erwähnt, muss ein Körper mindestens 2 Elemente besitzen.
| + | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| · | 1 |
| 1 | 1 |
Stichprobe für das Distributivgesetz: 1 · (1 + 1) = 1 · 0 = 0 bzw. 1 · 1 + 1 · 1 = 1 + 1 = 0
Aufgabe: Erstelle Verknüpfungstafeln für einen Körper mit 3 Elementen. Überprüfe an mindestens 2 nicht trivialen Beispielen das Distributivgesetz.
| + | 0 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |
| · | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 1 |
Stichprobe Distributivgesetz: 2 · (1 + 2) = 2 · 0 = 0 bzw. 2 · 1 + 2 · 2 = 2 + 1 = 0
2 · (2 + 2) = 2 · 1 = 2 bzw. 2 · 2 + 2 · 2 = 1 + 1 = 2
Aufgabe: Erstelle Verknüpfungstafeln für einen Körper mit 4 Elementen. Überprüfe an mindestens 2 nicht trivialen Beispielen das Distributivgesetz. Achtung:Hier kann man sich nicht mehr an der Restklassenrechnung orientieren.
| + | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 1 | 0 | 3 | 2 |
| 2 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| · | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 3 | 1 |
| 3 | 3 | 1 | 2 |
Stichprobe Distributivgesetz: 2 · (3 + 2) = 2 · 1 = 2 bzw. 2 · 3 + 2 · 2 = 1 + 3 = 2
3 · (1 + 2) = 3 · 3 = 2 bzw. 3 · 1 + 3 · 2 = 3 + 1 = 2
3 · (3 + 2) = 3 · 1 = 3 bzw. 3 · 3 + 3 · 2 = 2 + 1 = 3
Hintergrund dieser 'seltsamen' Verknüpfungstafeln ist die Charakeristik dieses Körpers.
Nach dem FranzosenDa 4 = 22 ist und die Primzahl die Charakteristik angibt, beträgt im Fall des Körpers mit vier Elementen die Charakteristik 2. Dann ist 1 + 1 = 0.
Anmerkung: Es kann beispielsweise keine Körper mit 6 oder 10 Elementen geben.